โรงเรียนบางละมุง
ใบความรู้ท ี่่19 เรื่องการดำเนินการของเซต
ดำเนินการสอนโดย อ.เอก ต้นแก้ว

เอกภพสัมพัทธ์ (Universal Set)

     บทนิยาม เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่กำหนดขึ้นโดยมีเงื่อนไขว่า เซตทุกเซตกล่าวถึงเป็นเซตย่อยของเซตนี้

                     สัญลักษณ์ที่แทนเอกภพสัมพัทธ์ คือ U

แผนภาพของเวนน์ - ออยเลอร์ (Venn - Euler Daigram)

     แผนภาพที่ใช้แทนเซตที่เรียกว่า แผนภาพของเวนน์ - ออยเลอร์ ซึ่งนำมาจากชื่อนักคณิตศาสตร์สองท่านคือ จอห์นเวนน์ (John, Venn : พ.ศ. 2377-2466) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษและอีกท่านหนึ่งคือ เลโอนาร์ด ออยเลอร์ (Leonard Euler : พ.ศ. 2250-2320) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวสิตเซอร์แลนด์ซึ่งเป็นผู้คิดแผนภาพนี้ขึ้นมา

     การเขียนแผนภาพนั้นเราจะแทนเอกภพสัมพัทธ์ U ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ส่วนเซตอื่นๆ ที่เป็นเซตย่อยของ U อาจเขียนแทนด้วยวงกลม วงรี หรือรูปปิดอื่นๆ ที่มีพื้นที่จำกัด

การดำเนินการของเซต (Operation of sets)

     1) ยูเนียน (Union)

      บทนิยาม ยูเนียนระหว่างเซต A และเซต B คือ เซตที่มีสมาชิกประกอบด้วยสมาชิกของเซต A หรือสมาชิกของเซต B หรือทั้งสองเซต

                 สัญลัษณ์ใช้แทนยูเนียนของเซต A และเซต B คือ A U B (อ่านว่า A ยูเนียน B)

                 A U B = { X | X Î A หรือ X Î B }

                          = { X | X Î A Ú X Î B }

      ตัวอย่าง

              1) กำหนดให้ A = { 1, 2, 3, 5 }

                                B = { 0, 1, 2, 6 }

                  คำตอบ   A U B = { 0, 1, 2, 3, 5, 6 }

              2) กำหนดให้ A = {a, b, c }

                                B = {x, y, z }

                  คำตอบ   A U B = { a, b, c, x, y, z }

              3) กำหนดให้ A = { 1, 2, 3,...,100 }

                                B = { 60, 61,....,1000 }

                  คำตอบ   A U B = { 1, 2, 3,...,1000 }

     2) อินเตอร์เซกชั่น (Intersection)

     บทนิยาม อินเตอร์เซกชัั้นระหว่างเซต A กับเซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ใน A และสมาชิกของเซต B

          สัญลักษณ์ที่ใช้แทนอินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B คือ A ^ B (อ่านว่า A อินเตอร์เซกชัน B)

                  A Ç B = { X | X Î A และ X Î B }

                           = { X | X Î A   Ù   X Î B }

         ตัวอย่าง

            1) กำหนดให้ A = { 1, 2, 3, 5}

                              B = { 0, 1, 2, 6 }

                คำตอบ  A Ç B = { 1, 2 }

           2) กำหนดให้ A = { a, b, c }

                             B = { x, y, z }

               คำตอบ  A Ç B = { }

         3) กำหนดให้ A = {1, 2, 3,...,100 }

                           B = { 60, 61,...,1000 }

               คำตอบ  A ^ B = { 60, 61,...,100 }

     3) ส่วนเติมเต็มหรือคอมพลีเมนต์ (Complement)

     บทนิยาม ส่วนเติมเต็มของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ใน U แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A

          ใช้สัญลักษณ์แทนส่วนเติมเต็มของเซต A ว่า A' (อ่านว่า "ส่วนเติมเต็มของเซต A หรือ คอมพลีเมนต์ของเซต A")

          เมื่อ A Î U ได้ A' = { X | X Î U และ X Ï A }

                                  = { X | X Î U   Ù   X Ï A }

     ตัวอย่าง กำหนดให้ U = { 1, 2, 3,... }

                               A = { 3, 4, 5,... }    

                   คำตอบ  A' = { 1, 2 }

     4) ผลต่าง (Difference)

      บทนิยาม ผลต่างของเซต A และเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ใน A แต่ไม่อยู่ในเซต B

          ใช้สัญลักษณ์แทนผลต่างระหว่างเซต A และเซต B ด้วย A - B (อ่านว่า "ผลต่างของเซต A และเซต B")

          เมื่อ A - B = { X | X Î A และ X Ï B }

                        = { X | X Î A   Ù   X Ï B }     หมายเหตุ เมื่อกำหนดให้ A, B, C เป็นเซตใดๆ ,U เป็นเอกภพสัมพัทธ์, f เป็นเซตว่างจะได้

                       1) A U B = B U A  และ  A ^ B = B ^ A

                       2) A U (B U C) = (A U B) U C  และ  A ^ (B ^ C) = (A ^ B) ^ C

                       3) A U f = A  และ  A ^ f  = f

                           A ^ U = A  และ  A U U = U

                       4) (A U B)' = A' ^ B'

                       5) (A ^ B)' = A' U B'

                       6) A U (B ^ C) = (A U B) ^ (A U C)

                       7) A ^ (B U C) = (A ^ B) U (A ^ C)

                       8) A' U A = U

                       9) A' U A = f

                       10) U' = f  และ  f'= U

                       11) (A')' =A

                       12) A - B = A ^ B'

                       13) A U A = A   และ  A ^ A = A

                       14) A U (A ^ B) = A

                             A ^ (A U B) =A