โรงเรียนบางละมุง
ใบความรู้ท ี่่17 เรื่องเซตย่ิอย
ดำเนินการสอนโดย อ.เอก ต้นแก้ว

เซตย่อย (Subset)

     บทนิยาม เซต A เป็นเซตย่อยของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A Ì B

                    ถ้าไม่เป็นเซตย่อยแทนด้วย A Ë B

ตัวอย่าง

            1) A = { 3,5 }

                B = { 1,2,3,5,7 }

               จะได้ A Ì B

           2) A = { ขาว, แดง, เขียว }

               B = { เหลือง, แดง, ชมพู }

               จะได้ A Ë B และ B Ë A

ข้อสังเกต

         1) เซตทุกเซตเป็นเซตย่อยของตัวเอง นั้นคือ ให้ A เป็นเซตใด ๆ แล้ว A Ì A

         2) เซตว่างเป็นเซตย่อยของทุึกๆ เซต นั้นคือ ให้ A เป็นเซตใดๆ แล้ว f Ì A

             การแสดงว่าเซตว่างเป็นเซตย่อยของทุกเซต จะใช้ความหมายของการไม่เป็นเซตย่อยมาแสดงโดย เซต A ไม่เป็นเซตย่อยของเซต B(A Ë B) เราจะต้องหาสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัวใน A ที่ไม่เป็นสมาชิกของ B นั้นคือเรากำหนดให้

             2.1 f Ì A

             2.2 f Ë A

             กรณี 2.2 ไม่เป็นความจริงเพราะถ้า f Ë A แล้วเราจะต้องหาสมาชิกอย่างย้อย 1 ตัว ใน f ที่ไม่เป็นสมาชิกของ A แต่เซตว่างไม่มีสมาชิกจะเกิดความขัดแย้งกับข้อที่กำหนดให้ นั้นคือ

                   2.1) f Ì A เป็นจริง หรือ เซตว่างเป็นเซตย่อยของทุกเซต

                   2.2) f Ë A เป็นไปไม่ได้

         3) ถ้า A Ì B และ A ¹ B เรียกเซต A ว่าเป็นเซตย่อยแท้ (Proper Subset) ของเซต B

         4) ถ้า A Ì B และ B Ì A แล้ว A = B

             เช่น A = { 3,5 } , B = { 5,3 }

                    ได้ A Ì B และ B Ì A นั้นคือ A = B

         5) จำนวนเซตย่อยทั้งหมดของเซตใดๆ จะได้เท่ากับ 2 n เมื่อ n คือสมาชิกของเซตนั้น

             เช่น  A = { a,b,c }

                     จำนวนเซตย่อยทั้งหมดของ A คือ 23 = 8 สมาชิกของเซตย่อยเป็น {a} , {b} , {c} , {a,b} , {a,c} , {b,c} , {a,b,c} , f

เซตกำลัง (Power set)

     บทนิยาม ถ้า A เป็นเซตแล้ว เซตที่มีสมาชิกประกอบด้วย เซตย่อยทั้งหมดของ A เรียกว่าเซตกำลังของ A

                     จำนวนสมาชิกของเซตกำลังของ A คือ 2 n เมื่้อ n คือจำนวนสมาชิกของ A

                     สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตกำลังของ A คือ P(A)

ตัวอย่าง

          1)  ให้ A = { 1 } หา P(A)

               คำตอบ  P(A) = {{1} , f }

          2) ให้ B = { 1,2 } หา P(B)

               คำตอบ  P(B) = {{1} , {2} ,{1,2} , f }

         3) ให้ C = { a,b,c } หา P(C)

              คำตอบ  P(C) = {{a} , {b} , {c} , {a,b} ,{a,c} , {b,c} , {a,b,c} , f }