โรงเรียนบางละมุง
ใบความรู้ท ี่่14 เรื่อง สัจนิรันดร์
ดำเนินการสอนโดย อ.เอก ต้นแก้ว

ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ

     บทนิยาม ประโยคเปิดคือ ประโยคบอกเล่า ซึ่งประกอบด้วยตัวแปรหนึ่งตัวหรือมากกว่าโดยไม่เป็นประพจน์ แต่จะเป็นประพจน์ได้ เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกเอกภพสัมพัทธ์ตามที่กำหนดให้

     นั่นคือ เมื่อแทนตัวแปรแล้วจะสามารถบอกค่าความจริง

ตัวบ่งปริมาณ สามารถแบ่งไดเป็น 2 ชนิดดังนี้

     1) ตัวบ่งปริมาณทั้งหมด คือ "สำหรับ.....ทุกตัว" (For all...) ใช้สัญลักษณ์ " " "

     2) ตัวบ่งปริมาณ "มีอย่างน้อยหนึ่ง" คือ "สำหรับ....บางตัว" (For some...) ใช้สัญลักษณ์ " $ "

การหาค่าความจริงของประโยคเปิด

     โดยจะนำตัวบ่งปริมาณ "x หรือ $x วางหน้าประโยคเปิด แล้วนำค่าในเอกภพสัมพัทธ์มาแทนในประโยคเปิด จึงหาค่าความจริงได้

บทนิยาม "x [Px] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อทุกๆ ตัวแทนของ x จากเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ Px เป็นจริง

              "x [Px] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมีตัวแทนของ x บางตัวจากเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ Px เป็นจริง

 

บทนิยาม $x [Px] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมีตัวแทนของ x บางตัวจากเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ Px เป็นจริง

                  $x [Px] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อทุกๆ ตัวแทนของ x จากเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ Px เป็นเท็จ

ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของประโยคเปิดต่อไปนี้

1) "x [x=0] เมื่อ U = { 0, 1, 2 }

2) "x [x<5] เมื่อ U = { -1, 0, 1, 2, -10 }

3) $x [x£ 0] เมื่อ U = { 0, 1, 2 }

4) $x [x<5] เมื่อ U = { 6, 15, 32 }

วิธีทำ

 

การหาค่าความจริงของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ 2 ตัว มีหลักพิจารณาดังนี้

     1) ประพจน์ "x "y[Pxy] มีค่าความจริงเป็นจริงเมื่อทุกๆ ตัวแทนของ x และ y จากเอกภพสัมพัทธ์ ทำให้ Pxy จริง นอกนั้นเท็จหมด

     2) ประพจน์ $x $y[Pxy] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมีตัวแทนของ x และ y บางตัวจากเอกภพสัมพัทธ์ ทำให้ Pxy จริง นอกนั้นเท็จ

     3) ประพจน์ "x $y[Pxy] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อตัวแทนของ x ทุกตัวจากเอกภพสัมพัทธ์ ทำให้ $y[Pxy] เป็นจริง นอกนั้นเท็จ

     4) ประพจน์ $x "y[Pxy] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อตัวแทนของ x บางตัวจากเอกภพสัมพัทธ์ ทำให้ "y[Pxy] เป็นจริง นอกนั้นเท็จ

ตัวอย่าง การหาค่าความจริงของประพจน์

1) จงหาค่าความจริงของ "x "y [x+y = y+x] เมื่อ U = { 0, 1, 2 }

วิธีทำ

     เมื่อแทน x ด้วย 0 เราจะได้ "y [0+y = y+0] หรือ "y [y = y] จริงทุก y = 0, 1, 2

     เมื่อแทน x ด้วย 1 เราจะได้ "y [1+y = y+1] หรือ "y [y = y] จริงทุก y = 0, 1, 2

     เมื่อแทน x ด้วย 2 เราจะได้ "y [2+y = y+2] หรือ "y [y = y] จริงทุก y = 0, 1, 2

ดังนั้น "x "y [x+y = y+x] เมื่อ U = { 0, 1, 2 } มีค่าความจริงเป็นจริง

2) จงหาค่าความจริงของประพจน์ $x $y[y<x] เมื่อ U = { 0, 1, 2 }

วิธีทำ

     เนื่องจากเมื่อแทน y ด้วย 1 และแทน x ด้วย 2 ทำให้ 1< 2 หรือ y < x จริง

ดังนั้น $x $y[y<x] เมื่อ U = { 0, 1, 2 } มีค่าความจริงเป็นจริง

3) จงหาค่าความจริงของประพจน์ "x $y[x+y = 0] เมื่อ U = { 0, 1, 2 }

วิธีทำ

     ถ้า x = -1 จะได้ $y[-1 + y = 0] เป็นจริงเมื่อ y = 1

     ถ้า x = 0 จะได้ $y[0 + y = 0] เป็นจริงเมื่อ y = 0

     ถ้า x = 1 จะได้ $y[1 + y = 0] เป็นจริงเมื่อ y = -1

ดังนั้น "x $y[x+y = 0] เมื่อ U = { 0, 1, 2 } มีค่าความจริงเป็นจริง