โรงเรียนบางละมุง
ใบความรู้ท ี่่12 เรื่อง ประพจน์ที่สมมูลกัน
ดำเนินการสอนโดย อ.เอก ต้นแก้ว

ประพจน์ที่สมมูลกัน

     บทนิยาม ประพจน์สองประพจน์ใดๆ จะสมมูลกันได้กต่อเมื่อประพจน์ผสมสองประพจน์นั้นมีความจริงเหมือนกันทุกกรณี กรณีต่อกรณี

       สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประพจน์ p สมมูลกับประพจน์ q คือ p º q

ตัวอย่าง ประพจน์ที่สมมูลกัน

1) จงพิจารณาว่า ~(p Ú q), ~p Ù ~q สมมูลกันหรือไม่

วิธีทำ โดยใช้ตารางความจริง

     \ จากตารางแสดงค่าความจริงจะได้ว่า ~(p Ú q)   º    ~p Ù ~q สมมูลกัน

2) จงพิจารณาว่า p Þ q , ~p Ú q , ~p Þ ~q สมมูลกันหรือไม่

วิธีทำ โดยใช้ตารางความจริง

     \ จากตารางแสดงค่าความจริงจะได้ว่า p Þ q    º   ~p Ú q   º   ~p Þ ~q สมมูลกัน

กฎเกณฑ์ต่อไปนี้จะแสดงประพจน์ที่สมมูลกัน

     1) กฎนิเสธซ้อน (double negative law)

                 ~(~p)                 =             p

     2) กฎนิจพล (idempotent law)

            2.1) p Ù p               =             p

            2.2) p Ú p               =             p         

     3) กฎของเดอเมอร์กอง (DeMorgan's law)

            3.1) ~(p Ù q)          =            ~p Ú ~q

            3.2) ~(p Ú q)          =            ~p Ù ~q

     4) กฎการสลับที่ (commutative law)

            4.1) p Ù q               =            q Ù p

            4.2) p Ú q               =            q Ú p

            4.3) p Û q               =            q Û p

     5) กฎการเปลี่ยนกลุ่ม (associative law)

            5.1) p Ù (q Ù r)      =            (p Ù q) Ù r

            5.2) p Ú (q Ú r)      =            (p Ú q) Ú r

            5.3) p Û (q Û r)      =            (p Û q) Û r

     6) กฎการแจกแจง (distributive law)

            6.1) p Ú (q Ù r)      =            (p Ú q) Ù (p Ú r)

            6.2) p Ù (q Ú r)      =            (p Ù q) Ú (p Ù r)

     7) กฎการแย้งสลับที่ (contrapositive law)

                   p Þ q               =            ~q Þ ~p

     8) กฎการแจงเหตุสู่ผล (material implicative)

            8.1) p Þ q               =            ~p Ú q

            8.2) ~p Þ q             =             p Ú q

     9) กฎนิเสธการแจงเหตุสู่ผล

                 ~(p Þ q)             =             q Ù ~p

     10) กฎสมมูลแบบเลือกได้ (material equivalence)

            10.1) p Û q             =            (p Þ q) Ù (q Þ p)

            10.2) p Û q             =            (~p Ú q) Ù (~q Ú p)

     11) กฎนิเสธของสมมูลแบบเือกได้

                ~(p Û q)              =            (p Ù ~q) Ú (q Ù ~p)

     12) กฎเอกลักษณ์ (identity law)

            12.1) p Ú F            =            p

            12.1) p Ú T            =            T

            12.1) p Ù T            =            p

            12.1) p Ù F            =            F

     13) กฎการเติมเต็ม (complement law)

            13.1) p Ú ~p          =            T

            13.2) p Ù ~p          =            F

            13.3) ~T                 =            F

            13.4) ~F                 =            T