โรงเรียนบางละมุง
ใบความรู้ที่่ 10 เรื่อง การรวมประพจน์
ดำเนินการสอนโดย อ.เอก ต้นแก้ว

การรวมประพจน์

      เมื่อประพจน์ตั้งแต่ 2 ประพจน์ขึ้นไปเรารวมประพจน์โดยใช้ตัวเชื่อม 5 ชนิด คือ

1) และ (and) แทนด้วยสัญลักษณ์ " Ù "

     เมื่อ p , q เป็นประพจน์ ประพจน์ "p และ q" (p and q) แทนด้วย p Ù q มีความเป็นจริงดังตารางด้านล่าง

             โดยที่   T แทนด้วยค่าความจริงเป็นจริง

                        F แทนด้วยค่าความจริงเป็นเท็จ

       สรุป ประพจน์ที่เกิดจากเชื่้อมด้วย "และ" เป็นจริงในกรณีซึ่งประพจน์ที่นำมาเชื่อมกันเป็นจริงทั้งคู่ นอกนั้นเท็จหมด

หมายเหตุค่าความจริงของประพจน์จะมีกี่กรณีขึ้นกับประพจน์ที่เป็นตัวประกอบ โดยใช้หลักการจัดหมู่ (Combination) ของค่าความจริงประพจน์เดี่ยว จะได้ว่า "ถ้ามีปรพจน์เดี่ยว n ประพจน์ ค่าความจริงของประพจน์จะมี 2" กรณีดังนี้

       1) กรณี 1 ประพจน์

       2) กรณี 2 ประพจน์

       3) กรณี 3 ประพจน์

ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของประพจน์

1) 2 + 3 = 5 และ 1 น้อยกว่า 2

   วิธีทำ

      ให้  p แทน 2 + 3 = 5 มีค่าความจริงเป็นจริง (T)

           q แทน 1 น้อยกว่า 2 มีค่าความจริงเป็นจริง (T)

      2 + 3 = 5 และ 1 น้อยกว่า 2 แทนด้วย p Ù q

      หาความจริงได้ดังนี้ p Ù q

                               T Ù T ค่าความเป็นจริงคือ T

     หรือ p  Ù  q

           T |T| T

    \ ค่าความจริงเป็นจริง

2) 2 + 3 = 5 และ 4 น้อยกว่า 3

   วิธีทำ

           ให้  p แทน 2 + 3 = 5 มีค่าความจริงเป็นจริง (T)

                q แทน 4 น้อยกว่า 3 มีค่าีความจริงเป็นเท็จ (F)

          2 + 3 = 5 และ 4 น้อยกว่า 3 แทนด้วย p Ù q

         หาความจริงได้ดังนี้ p Ù q

                                   T Ù F ค่าความเป็นจริงคือ F

         หรือ p  Ù  q

               T |F| F

    \ ค่าความจริงเป็นเท็จ

2) หรือ (or) แทนด้วยสัญลักษณ์ " Ú "

   เมื่อ p, q เป็นประพจน์ ประพจน์ "p หรือ q" (p or q) แทนด้วย p Ú q มีความเป็นจริงดังตารางด้านล่าง

     สรุป ประพจน์ซึ่งเกิดจากการเชื่อมด้วย "หรือ" จะเป็นเท็จในกรณีที่ประพจน์ที่นำมาเชื่อมเป็นเท็จทั้งคู่ นอกนั้นเป็นจริงทั้งหมด

ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของประพจน์

1) น้ำตาลมีรสหวานหรือเดือนธันวาคมมี 31 วัน

วิธีทำ

      ให้  p แทน น้ำตาลมีรสหวาน มีค่าความจริงเป็นจริง (T)

           q แทน เดือนธันวาคมมี 31 วัน มีค่าความจริงเป็นจริง (T)

     น้ำตาลมีรสหวานหรือเดือนธันวาคมมี 31 วัน แทนด้วย p Ú q

     หาความจริงได้ดังนี้ p Ú q

                              T Ú T ค่าความเป็นจริงคือ T

         หรือ p  Ú  q

               T |T| T

    \ ค่าความจริงเป็นจริง

2) น้ำตาลมีรสหวานหรือโลกนี้มีลักษณะแบน

วิธีทำ

      ให้  p แทน น้ำตาลมีรสหวาน มีค่าความจริงเป็นจริง (T)

           q แทน โลกนี้มีลักษณะแบน มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)

     น้ำตาลมีรสหวานหรือโลกนี้มีลักษณะแบนแทนด้วย p Ú q

     หาความจริงได้ดังนี้ p Ú q

                              T Ú F ค่าความเป็นจริงคือ T

         หรือ p  Ú  q

               T |T| F

    \ ค่าความจริงเป็นจริง

3) ถ้า...แล้ว... (if...then...) แทนด้วยสัญลักษณ์ " Þ "

    เมื่อ p , q เป็นประพจน์ ประพจน์ "ถ้า p แล้ว q" (if p then q) แทนด้วย p Þ q มีความเป็นจริงดังตารางด้านล่าง

     เรียก p ว่าเหตุ และ q ว่าผล

     สรุป ประพจน์ที่เกิดจาการตัวเชื่อม "ถ้า... แล้ว..." จะเป็นเท็จเมื่อเหตุจริงและผลเท็จเท่านั้น นอกนั้นจริงหมด

หมายเหตุประพจน์ที่เชื่อมด้วย ถ้า... แล้ว... โดยหลังถ้าเป็นเหตุ หลังแล้วเป็นผลเปรียบเสมือนกับคำมั่นสัญญา

ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของประพจน์

1) ถ้ากีฬาเทเบิลเทนนิสต้องเล่นบนโต๊ะแล้วกีฬาฟุตบอลต้องเล่นบนสนาม

วิธีทำ

      ให้  p แทน กีฬาเทเบิลเทนนิสต้องเล่นบนโต๊ะ มีค่าความจริงเป็นจริง (T)

           q แทน กีฬาฟุตบอลต้องเล่นบนสนาม มีค่าความจริงเป็นจริง (T)

     ถ้ากีฬาเทเบิลเทนนิสต้องเล่นบนโต๊ะแล้วกีฬาฟุตบอลต้องเล่นบนสนาม แทนด้วย p Þ q

     หาความจริงได้ดังนี้ p Þ q

                              T Þ T ค่าความเป็นจริงคือ T

         หรือ p  Þ  q

               T |T| T

    \ ค่าความจริงเป็นจริง

2) ถ้า 2 + 3 = 5 แล้ว 2 + 4 = 7

วิธีทำ

      ให้  p แทน 2 + 3 = 5 มีค่าความจริงเป็นจริง (T)

           q แทน 2 + 4 = 7 มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)

     ถ้า 2 + 3 = 5 แล้ว 2 + 4 = 7 แทนด้วย p Þ q

     หาความจริงได้ดังนี้ p Þ q

                              T Þ F ค่าความเป็นจริงคือ F

         หรือ p  Þ  q

               T |F|  F

    \ ค่าความจริงเป็นเท็จ

4) ก็ต่อเมื่อ (if and only if) แทนด้วยสัญลักษณ์ " Û "

      เมื่อ p , q เป็นประพจน์ ประพจน์ "ถ้า p ก็ต่อเมื่อ q" (p if and only q) แทนด้วย p Û q มีความเป็นจริงดังตารางด้านล่าง

     สรุป ประพจน์ที่เกิดจากการเชื่อม p Û q จะมีค่าความจริงเป็นจริงเมื่อ p และ q เป็นจริงทั้งคู่หรือเท็จทั้งคู่ นอกนั้นเป็นเท็จหมด

ตัวอย่าง จงหาค่าความจริงของประพจน์

1) 2 เป็นเลขคู่ก็ต่อเมื่อ 3 เป็นเลขคี่

วิธีทำ

      ให้  p แทน 2 เป็นเลขคู่ มีค่าความจริงเป็นจริง (T)

           q แทน3 เป็นเลขคี่ มีค่าความจริงเป็นจริง (T)

    2 เป็นเลขคู่ก็ต่อเมื่อ 3 เป็นเลขคี่ แทนด้วย p Û q

     หาความจริงได้ดังนี้ p Û q

                              T Û T ค่าความเป็นจริงคือ T

         หรือ p  Û  q

               T |T| T

    \ ค่าความจริงเป็นจริง

2) 2 มากกว่า 1 ก็ต่อเมื่อ 3 น้อยกว่า 2

วิธีทำ

      ให้  p แทน 2 มากกว่า 1 มีค่าความจริงเป็นจริง (T)

           q แทน 3 น้อยกว่า 2 มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)

     2 มากกว่า 1 ก็ต่อเมื่อ 3 น้อยกว่า 2 แทนด้วย p Û q

     หาความจริงได้ดังนี้ p Û q

                              T Û  F ค่าความเป็นจริงคือ F

         หรือ p  Û  q

               T |F|  F

    \ ค่าความจริงเป็นเท็จ

5) ไม่ (not) แทนด้วยสัญลักษณ์ " ~ "

      เมื่อ p แทนประพจน์ ประพจน์ไม่ p (not p) แทนด้วย "~p" มีค่าจริงเป็นจริงดังนี้

     สรุป ค่าความจริงของ ~p จะตรงข้ามกับ p เสมอ

     

เมื่อนำค่าความจริงของทั้ง 5 ตัวมารวมเป็นตารางเดียวกันได้