โรงเรียนบางละมุง
ใบความรู้ที่่7 เรื่อง คุณสมบัติของจำนวนจริง
ดำเนินการสอนโดย อ.เอก ต้นแก้ว

คุณสมบัติของจำนวนจริง

  1) จำนวนจริงในรูปของการยกกำลังที่เป็นเศษส่วน

ตัวอย่าง จงหาค่าต่อไปนี้

วิธีทำ

 =  2 6/3

                                                                     =  2 2

                                                                     =  4

                            =   7

                 4) 361/2 =    (62)1/2

                             =      6

  2) การมีลำดับ

          มีเครื่องหมายที่ใช้แสดงการเปรียบเทียบคือ

            < แทน  น้อยกว่า  เช่น 5 < 10

            > แทน  มากกว่า  เช่น 5 > 10

            £ แทน  น้อยกว่าหรือเท่ากับ

            ³ แทน  มากกว่าหรือเท่ากับ

     ถ้า a, b, c Î R จะำได้ว่า

            2.1) ถ้า a < b แล้ว a + c < b +c

            2.2) ถ้า a < b และ b < c แล้ว a < c

            2.3) ถ้า a < b และ c > 0 แล้ว ac < bc

            2.4) ถ้า a < b และ c < 0 แล้ว ac > bc

    เช่น 5 < 10 และ c = -1 ซึ่ง c < 0 แล้ว

               5(-1) > 10(-1)

               -5 > -10

 3) ช่วง (Intervals)

     ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ และ a < b ช่วงของจำนวนจริงจะมีความหมายดังนี้

     3.1) ช่วงปิด (a , b) หมายถึง { x | a < x < b }

                       

     3.2) ช่วงปิด [a , b] หมายถึง { x | a £ x £ b }

                       

     3.3) ช่วงครึ่งเปิด (a , b] หมายถึง { x | a < x £ b }

                      

     3.4) ช่วงครึงปิด [a , b) หมายถึง { x | a £ x < b }

                     

     3.5) ช่วงอนันต์ที่มากกว่า a คือ (a , ¥) หมายถึง { x | x > a }

                    

     3.6) ช่วงอนันต์ที่มากกว่าหรือเท่ากับ a คือ (a , ¥) หมายถึง { x | x  ³ a }

                    

     3.7) ช่วงอนันต์ที่น้อยกว่า a คือ (-¥ , a) หมายถึง { x | x < a }

                    

     3.8) ช่วงอนันต์ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ a คือ (-¥ , a) หมายถึง { x | x £ a }

                   

  4) อสมการและแก้อสมการ

      อสมการ (inequalities) หมายถึง ประโยคที่แสดงความไม่เท่ากัน เช่น 3 <7 , x + 2 > 5 เป็นต้น

     บทนิยาม กำหนดอสมการของตัวแปร x คำตอบของอสมการ หมายถึง ค่า x ที่ทำให้อสมการเป็นจริง

                   เซตคำตอบของอสมการ หมายถึง เซตของ x ซึ่งเป็นคำตอบของอสมการ

                   การแก้สมการ หมายถึง การหาเซตคำตอบของสมการ

ตัวอย่าง จงแก้อสมการ x/2 - 4 < 8

วิธีทำ     x/2 - 4 <  8

             x/2      <  8+4

             x/2      <  12

              x       <  12(2)

              x       <   24

   เซตคำตอบคือ { x | x < 24 }

   เขียนคำตอบในรูปช่วงได้เป็น (-¥ , 24) หรือ

                 

ตัวอย่าง จงแก้อสมการ x2 - 2x  ³ 15

วิธีทำ      x2 - 2x  ³ 15

         x2 - 2x -15  ³ 0

      (x - 5)(x + 3)  ³ 0

     แยกพิจารณาได้ 2 กรณี

    กรณี1  x - 5 ³ 0 และ x + 3 ³ 0

              ได้ x ³ 5 และ x ³ -3

                   x ³ 5

    กรณี2  x - 5 £ 0 และ x + 3 £ 0

              ได้ x £ 5 และ x £ -3

                   x £ 3

   เซตคำตอบของอสมการ { x | x ³ 5 หรือ x £ 3 } หรือ

              

  5) ค่าสมบูรณ์ (absolute value)

     บทนิยาม ให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วค่าสมบูรณ์ของ a ใช้สัญลัษณ์ |a| จะเท่ากับ

               |a| = a เมื่อ a ³ 0 และ -a เมื่อ a < 0

               โดยที่ |a| เป็นระยะทางจาก a ไป 0

คุณสมบัติของค่าสมบูรณ์ เมื่อ a, b, x, k เป็นจำนวนจริงใดๆ

   1) |a| 2= a2

   2) |a| ³ 0

   3) |a| = |-a|

   4) |a.b| = |a||b|

   5) |a/b| = |a|/|b|

   6) |a| - |b| £ |a - b|

   7) |x| < k ก็ต่อเมื่อ -k < x <k โดยที่ k > 0

   8) |x| > k ก็ต่อเมื่อ x > k หรือ x < -k

   9) |-a| £ a £ |a|

ตัวอย่าง จงหาคำตอบของอสมการ |2x + 1| < 1

วิธีทำ   จาก |2x + 1| < 1 ใช้คุณสมบัติของ 7

             -1< 2x + 1 < 1

             -2 < 2x < 0

             -1 < x < 0

    เซตคำตอบของอสมการ |2x + 1| < 1 คือ { x | -1< x < 0 }